Sierpinski-Dreieck

Wir betrachten ein gleichseitiges und gleichschenkliches Dreieck. Geometrisch kann man es symmetrisch in 4 kleinere Dreiecke aufteilen.

Im ersten Schritt nehmen wir das mittlere Dreieck heraus. Übrig bleiben 3 Dreiecke in den entsprechenden Ecken.

In den nächsten Schritten wird aus jedem übrig gebliebenen Dreieck wiederum das Mittlere entfernt. Nach unendlichen vielen Schritten erhält man das Sierpinski-Dreieck.

Nach unendlich vielen Schritten erhalten wir ein "dürres Gerippe". Welche Dimension hat dieses Sierpinski-Dreieck? Ist es eine Fläche (D=2) oder ist es nur noch eine Linie (D=1)?

D = log₂3 = ln3/ln2 ≈ 1,58496...

Oder anders ausgedrückt:
Die Dimension D ist die Lösung von

2^D = 3

Das "dürre Gerippe" hat eine fraktale Dimension. Es ist also ein Objekt zwischen einer Linie und einer Fläche.

Wacław Sierpiński