Betrachte einen beliebigen Punkt in einem gleichseitigen Dreieck. Zu jeder Seite gibt es eine Verbindungslinie mit kürzester Länge. Diese Verbindungslinie ist senkrecht zur Seite des Dreiecks.
| Frage: | Wie groß ist die Summe der Längen aller drei farbigen Senkrechten? |
| Grafik: |
viviani.png
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Hintergrund | |
Klicke in das Dreieck:
| Lösung: |
Alle drei Längen der Senkrechten zusammen ergeben die Höhe h des Dreiecks:
a + b + c = h |
Für die Fläche eines Dreiecks gilt:
Breite × Höhe / 2
Die Fläche des großen Dreiecks mit der Höhe h entspricht der Summe der drei kleineren farbigen Dreiecke:
Breite×a/2 +
Breite×b/2 +
Breite×c/2
= Breite×h/2
Die Multiplikation mit 2/Breite ergibt das Theorem von Viviani:
a + b + c = h q.e.d.
Viviani war ein italienischer Mathematiker und Physiker aus Florenz:
1639 war Viviani Mitarbeiter von Galileo Galilei.
1661 beobachtete Viviani das Foucaultsches Pendel, jedoch ohne Kenntnis von der Coriolis-Kraft zu haben: Die Drehung der Schwingungsebene wird durch die Erddrehung verursacht, in Abhängigkeit des Breitengrads φ.
Viviani im R³
Was passiert, wenn wir statt eines Dreiecks nun einen Tetraeder betrachten?
Ein beliebiger Punkt in diesem Tetraeder wird senkrecht zu allen vier Seiten verbunden. Gibt es auch jetzt noch eine Gesetzmäßigkeit? Wenn ja, welche?
Satz von Viviani im 3-dimensionalen Tetraeder
Die Summe aller vier senkrechten Abstände zum inneren Punkt entspricht der Höhe des Tetraeders.
| Grafik: |
viviani_3d.png
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Hintergrund | |
Drehe das Tetraeder via Maus / Finger:
Betrachte die kleinen Tetraeder an den Seitenflächen, die als Höhe den Abstand zum inneren Punkt haben:
Für das Volumen eines Tetraeders gilt:
Grundfläche × Höhe / 3
Alle vier Volumina zusammen ergeben das Volumen des großen Tetraeders. Daher entspricht die Summe aller vier Abstände der Höhe des Tetraeders.
Innerer Punkt: |
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| x-Achse: | ||||
| y-Achse: | ||||
| z-Achse: | ||||
Tetraeder: |
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| Kippen: | ||||
| Drehen: | ||||
| Zoomen: | ||||
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mathe/viviani.html
