Wir begeben uns in die komplexe Zahlenebene und betrachten folgende Iteration:
zn+1 = zn² + c
Für jede Zahl c aus der Zahlenebene wird eine begrenzte Anzahl nmax von Iterationen durchgeführt mit der Anfangsbedingung z0=0. Überschreitet dabei der Betrag |zn| vorher den Wert 2, wird die Iteration abgebrochen und die Folge als divergent definiert. Dem Bildpunkt wird der Anzahl der Iterationen n entsprechend eine Farbe geordnet.
Ist die Folge zn hingegen beschränkt, so gehört die Zahl c zur Mandelbrot-Menge.
Die Julia-Menge wird durch denselben Algorithmus erzeugt. Jedoch durchläuft hier die Zahl z0 die komplexe Zahlenebene. Dabei ist c eine Konstante, d.h. zu jeder Julia-Zahl c gibt es eine entsprechende Julia-Menge, für welche die Iterationen
zn+1 = zn² + c
beschränkt ist. Liegt c in der Mandelbrot-Menge, so ist die Julia-Menge zusammenhängend.
Der Rand der großen Fläche der Mandelbrot-Menge wird durch Kardioide beschrieben werden. Diese "Herzkurve" wird durch einen Kreis erzeugt, der auf einem anderen Kreis mit demselben Radius abrollt. Bei der folgenden Parametrisierung durchläuft der Parameter t die Zahlen von 0 bis 1:
| Zeichne: | ||
Verschiedene Parameter t als Brüche:
| Zeige: | |
Der Parameter t = Zähler/Nenner einer Knospe entspricht der Summe der benachbarten Knospen, wobei Zähler und Nenner entgegen der Bruchrechnung getrennt addiert werden:
1/4 + 1/3 = 2/7
Der Nenner gibt dabei die Anzahl der Strahlen an.
| Zeige: | |
|
Wähle:
|
Option:
|
|
Ausschnitt: 2 Klicks
Zentrieren: Doppelklick |
|||||
| Iterationen: |
| 5 | ||
|
|
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| Bildpunkte | Interationen nmax | ||
| Mandelbrot-Menge | Julia-Menge |
Eingegebene Zahlen werden übernommen:
| Julia-Zahl: | Re = |
|
| Im = | ||
| Realteil: | Min = | |
| Max = | ||
| Imaginär: | Mitte = |
|
| Julia-Zahl: |
Re = Im = |
|
| Realteil: | Min = Mitte = Max = |
|
| Imaginär: | Min = Mitte = Max = |
|
| Bild: | ||
| Breite = Hoehe = |
|
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| Vergrößerung = | ||
| Format 1×1 | Format 4×3 | Format 16×9 |
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Hinweis: Gespeicherte Bilder sind um Faktor 1,5 größer.
Knospen Mandelbrot-Menge
Der Rand des Bauches des Äpfelmännchens wird beschrieben durch eine Kardioide. Dabei rollt ein Kreis an einem Kreis mit demselben Radius ab.
Diese Kardioide lässt sich parametrisieren:
Der größte Kreis der Mandelbrot-Menge hat folgende Parametrisierung:
Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei (−1,0).
Der Rand der großen Mandelbrot-Menge wird durch eine Kardioide beschrieben. Der Parameter t∈[0,1] gibt an, wo sich am Rand eine Knospe befindet. Er wird als Bruch dargestellt. Die obere Zahl heißt Zähler, und unter dem Bruchstrich steht der Nenner.
Die Anzahl der Strahlen an einer Knospe ergeben sich aus der Summe der größten Nachbarknospen. Dabei werden Zähler und Nenner getrennt addiert:
1/2 + 3/5 = 4/7
Die berechnete Knospe hat 7 Strahlen.
Feigenbaum-Diagramm
Um die Iterationen der Mandelbrot-Menge näher zu untersuchen, beschränken uns auf die reelle Achse, wie oben bereits gezeigt. Wenn wir den Imaginärteil der Folge zn auf Null setzen, erhalten wir die vereinfachte 1-dimensionale Folge:
xn+1 = xn² + c
Der Parameter c durchläuft nun die reelle Achse. Für den Startwert gilt x0=0.
Für jedes c wird eine bestimmte Anzahl von Iterationen vorgenommen. Beim Ursprung c=0 aus startend gucken wir die negative Richtung nach links. Wir beobachten eine Periodenverdopplung:
1, 2, 4, 8, ...
Nach dem Chaos gibt es wieder Ordnung, beginnend mit einer 3er-Periode. Zoomt man in das Feigenbaum-Diagramm hinein, entdeckt man weitere Strukturen. Hierbei ist aber eine logarithmische Skala unverzichtbar.
| horizontale Achse c = | ||
| Iterationen n = | ||
| Zeichnen ab nmin = | ||
| Mit dem roten Schieberegler kann man den Einschwingvorgang beim Zeichnen ausblenden. Am Ende sieht man dann die reine Periode, die man an der vertikalen Achse ablesen kann. | ||
Zeige einzelne Schritte der Iteration
y(x) = x² + c
Je mehr Iterationen man durchführt, desto stärker konvergieren die einzelnen Werte der Periode.
Zeige Perioden für besondere Werte c:
Video Selbstähnlichkeit
Bis zu 10.000 Iterationen pro Bildpunkt.
15.191 fache Vergrößerung.
Mandelbrot vs Julia
1905 erarbeitete Pierre Fatou die Grundlagen. 1918 veröffentlichte Gaston Julia seine Arbeit über Iterationen rationaler Funktionen. 1978 wurden die ersten computergestützten Mandelbrot-Bilder gerechnet. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über dieses Thema.
*1878 Lorient
†1929 Pornichet
*1893 Sidi bel Abbès (Algerien)
†1978 Paris
*1924 Warschau
†2010 Cambridge (Massachusetts)
Komplexe Zahlenebene:
In Schwarz die Konvergenz.
Julia-Menge von c = −0,7 + 0,3·i
Mathematik
Eine komplexe Zahl
z = x + y·i
besteht aus dem Realteil x=Re(z) und dem Imaginärteil y=Im(z). Mit der Definition i²=−1 ergibt sich obige Iteration zu:
Und mit Hilfes des Pythagoras berechnen wir den Betrag |z| = √(x²+y²).
Es liegt der Isomorphismus ℂ ≅ ℝ² vor.
Eine komplexe Zahl z kann als ein Vektor im 2-dimensionalen Raum ℝ² aufgefasst werden. Die Komponenten eines Vektors lassen sich über den Sinus und Cosinus ausdrücken. Betrachtet man deren Taylor-Reihen, so ergibt sich die Euler-Relation
ei·φ = cos φ + i·sin φ
Jetzt liegt es natürlich nahe, den Winkel φ=π einzusetzen, was zu der folgenden spektakulär anmutenden Relation führt:
ei·π = −1
Begibt man sich in abstraktere Räume, kann man manchmal Probleme und Aufgaben trivial lösen und anschießend wieder eine Rangordnung runtergehen.
So ergeht es auch den Additionstheoremen. Multipliziert man das Produkt
ei·α · ei·β
aus und vergleicht Real- und Imaginärteil miteinander, ergeben sich die beiden Additionstheoreme. Aufgrund des Isomorphismus weiß man jetzt auch, warum es zwei Gleichungen sind.
www.harald-blazy.de/
mathe/mandelbrot.html
