Reihenentwicklungen

Wähle eine Funktion:

Eine um einen Punkt herum glatte Funktion kann durch eine Potenzreihe dargestellt werden:

Dabei ist f⁽ⁿ⁾ die n-te Ableitung der Funktion f(x), und n! die Fakultät von n,
z. B.:   4! = 1·2·3·4 = 24

In der Physik werden obige Funktionen in Formeln verwandt. Dabei ist zu beachten, dass das Argument immer OHNE Einheiten ist, denn solch ein Ergebnis macht keinen Sinn:

Länge L  =  1 + 2 m + 4 m² + 3 m³ + ...

Einheiten sind z. B. Meter (m), Sekunde (s), Kilogramm (kg) und Newton (N). Winkel (Grad oder Bogenmaß) sind in diesem Sinne keine Einheiten.

Ist Dir aufgefallen, dass sin(x) und cos(x) eine ähnliche Taylor-Reihe haben wie die Exponential-Funktion exp(x)?

In der komplexen Zahlenebene (i²=−1) gilt die Euler-Relation:

e ^i·φ  =  cos(φ) + i·sin(φ)

Dabei bezeichnet φ den Drehwinkel zwischen dem Real- und Imaginärteil.