Bisher betrachteten wir die fünf Platonischen Körper, deren Manipulationen wie auch die Bildung von Tangentialflächen. Nun leiten wir von den Platonischen Körpern sogen. Sternkörper ab.
Kepler-Poinsot-Körper
Die Kepler-Poinsot-Körper gehören zu den Sternkörpern. Es sind reguläre Polyeder, die jedoch nicht-konvex sind.
Beim Dodekaederstern wird auf jede Fläche eines Dodekaeders eine Pyramide gesetzt. Der Hüllkörper ist ein Ikosaeder.
Das große Dodekaeder ist ein reduzierter Ikosaeder. Jede Seitenfläche ist eingespitzt. Daher ist sein Grundkörper ein Ikosaeder (!).
Der Ikosaederstern hat als Grundkörper -wie zu erwarten- einen Ikosaeder.
Das große Ikosaeder ist wiederum ein reduzierter Dodekaederstern.
Sternkörper sind nicht-konvexe Polyeder.
Strukturen farblich hervorgehoben
Über den Polyedersatz
#Flächen − #Kanten + #Ecken = Χ
kann man Dank der Euler-Charakeristik
Χ = 2(1−g)
das Geschlecht g für nicht-konvexe Körper bestimmen:
| #F | #K | #E | Χ | g | |
|---|---|---|---|---|---|
| Dodekaederstern | 12 | 30 | 12 | −6 | 4 |
| Großes Dodekaeder | 12 | 30 | 12 | −6 | 4 |
| Ikosaederstern | 12 | 30 | 20 | +2 | 0 |
| Großes Ikosaeder | 20 | 30 | 12 | +2 | 0 |
Der Dodekaederstern wird von 12 Pentagrammen begrenzt. Diese werden als Flächen gezählt. Genau genommen besteht der Dodekaederstern aus 60 gleichschenkligen Dreiecken.
Detailansichten
| Dodekaederstern |
|---|
| 12 regelmäßige Pentagramme = 60 gleichschenklige Dreiecke |
| Großes Dodekaeder |
| 12 regelmäßige Fünfecke => 60 gleichschenklige Dreiecke |
| Ikosaederstern |
| 12 regelmäßige Pentagramme = 60 gleichschenklige Dreiecke |
| Großes Ikosaeder |
| 20 gleichseitige Dreiecke 1) 60 gleichschenklige Dreiecke 2) 120 unregelmäßige Dreiecke |
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