Drittes Kepler-Gesetz

Massen ziehen sich gegenseitig an. Je geringer der Abstand, umso größer ist die Gravitationskraft. Dieses Phänomen sorgt dafür, dass schwere Massen umeinander herumkreisen können.

Die Idee des heliozentrischen Weltbildes, die Sonne in den Mittelpunkt des Planetensystems zu stellen, wurde von

• 1473−1543 Nikolaus Kopernikus
• 1571−1630 Johannes Kepler
• 1643−1727 Isaac Newton

näher ausgearbeitet. Die folgende Animation betrachtet die ersten vier Planeten. Dabei werden die Planetenbahnen als Kreise angenommen. Verändert man jedoch die Anfangsgeschwindigkeiten, so erhält man Ellipsen.

				±1 km/s
Merkur:	vy =		km/s
Venus:	vy =		km/s
Erde:	vy =		km/s
Mars:	vy =		km/s
		alte Daten Zufall

	Abstand R [Mio km]	Umlaufzeit T [Tage]	R³/T²
Merkur	58,0	88,0	25,19
Venus	108,16	224,7	25,06
Erde	149,6	365,26	25,09
Mars	228,0	687,0	25,11

Je dichter die Planeten an der Sonne sind, desto größer ist die Anziehungskraft. Folglich müssen sie sich schneller bewegen, damit die größere Zentrifugalkraft die Anziehungskraft kompensiert. Nur so können die Planeten die Sonne umkreisen. Ansonsten würden sie in die Sonne stürzen.

Bei dem Besuch der Volkssternwarte Gelber Turm in Hildesheim beobachteten wir die Phasen der Venus und die Sonnenflecken. Ferner gibt es auch Bilder vom Spiegelteleskop wie auch Folien zum besseren Verständnis.

Die obigen Bewegungen der Planeten sind keine einprogrammierten Ellipsen. Vielmehr werden die Bewegungen in Zeitintervalle aufgeteilt und genähert.

Für eine Zeitstunde fliegen die Planeten ihrem konstanten Geschwindigkeitsvektor v entsprechend geradeaus. Danach wird die Gravitation zur Sonne kurzzeitig eingeschaltet, so dass die neue Richtung dieses Vektors berechnet wird. Anschließend fliegen die Planeten in die neue Richtung v = (v_x, v_y) mit neuer Geschwindigkeit |v| = √(v_x² + v_y²) weiter.

Im Gegensatz zum 3-Körper-Problem interagieren die Planeten nicht untereinander. Ferner bewegen sich alle Planeten in einer Ebene. Hier soll lediglich das 3. Kepler-Gesetz untersucht werden.

Die dritte Potenz des Radius R (große Halbachse) einer Planetenbahn ist proportional zum Quadrat seiner Umlaufzeit T:

So müssen sich die inneren Planeten schneller um die Sonne bewegen als die äußeren, damit sie nicht in diese stürzen.

Durch obige Formel können zwei Planeten miteinander berechnet werden. Die Umlaufzeit T der Erde und den Abstand R zur Sonne kennen wird. Damit können wir die Umlaufzeit eines anderes Planeten in Abhängigkeit seines Abstands zur Sonne berechnen.

Es ist bemerkenswert, dass wir dazu weder die Masse der Sonne kennen müssen, noch die Gravitationskonstante G.

Die die Sonne umkreisende Planeten erfahren eine Zentrifugalkraft, die gleich der Gravitationskraft ist:

Wir erhalten:

Mit der Geschwindigkeit   v = ω R = 2 π R / T   der Planeten rechnen wir:

Der rechte Ausdruck ist konstant. Somit haben wir eine Beziehung zwischen zwei Planeten, die die Sonne umkreisen, z. B.:

q.e.d.

Die Kuben der Radien R zweier Planeten verhalten sich wie deren Quadrate der Umlaufszeiten T.