Goldener Schnitt

In der Physik stößt man immer auf konstante Größen. Als Beispiele nennen möchte ich die Lichtgeschwindigkeit

c₀ ≈ 299 792 458 m/s²

in der Elektrodynamik, das Planck'sche Wirkungsquantum

h ≈ 6,626×10^-34 Js

in der Quantenmechanik, und die Feigenbaumkonstante

δ ≈ 4,669

in chaotischen Systemen.

Bei unseren Polyedern gibt es eine geometrische Konstante:

Φ ≈ 1,618

Sie drückt das Verhältnis zweier Teilungen von Strecken zueinander aus und ist somit dimensionslos:

Aus der Forderung nach gleichen Teilungsverhältnissen zweier Teilungen lässt sich der Goldene Schnitt berechnen:

Wir haben bisher sehr viele Polyeder studiert:

Die Platonischen mit den Dualen, weitere Eingeschriebene, die Archimedischen und schließlich die Catalanischen Körper.

Eine Menge an Programmier- und Rechenarbeit. Aber gleich zu Beginn, bei der Ermittlung der Ecken der Platonischen Körper, begegnete mir der Goldene Schnitt.

Mit ihm werden die Ecken des Dodekaeders und des Ikosaeders berechnet. Schon da konnte man erahnen, dass beide zueinander dual sind.

Die 20 Ecken des Dodekaeders
berechnen sich über den Goldenen Schnitt.

Die 12 Ecken des Ikosaeders
berechnen sich über den Goldenen Schnitt.

Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch durch trigonometrische Funktionen ausdrücken.

Unter der Euklidischen Geometrie versteht man Konstruktionen, die ausschließlich nur mit Zirkel und Lineal (ohne Skala) ausgeführt werden. Dies reicht aus, um den Goldenen Schnitt zeichnerisch zu ermitteln.

Die Seiten eines Goldenen Rechtsecks stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Ein Ikosaeder kann aufgrund seiner 12 Ecken drei Goldene Rechtecke aufnehmen. Diese teilen sich wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnitts.