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Wir betrachten 3-dimensionale Körper, die von glatten und ebenen Flächen begrenzt sind. Die Flächen eines Körpers sind dabei alle identisch. Sie sind also alle gleich groß und haben dieselbe Form. Von diesen hochsymmetrischen Körpern gibt es nur 5 Stück. Man nennt sie die Platonischen Körper.

Manipuliert man die Platonischen Körper, erhält man die sogen. Archimedischen Körper. Schleift man beispielsweise vom Hexaeder die Kanten ab, erhält man den Hexaederstumpf. Er besteht sowohl aus Dreiecken wie auch aus Achtecken.

Legt man an die Ecken eines Archimedischen Körpers Tangentialflächen an, so erhält man einen Catalanischen Körper. Somit sind beide dual zueinander. Die Seitenflächen sind von einer Art. Die Vielecke sind kongruent zueinander, aber sie sind nicht regelmäßig.

Bsp: Dodekaeder

Größtmöglichste Symmetrie

Pentagone als einzige Begrenzungsflächen:
Gleiche Größe, gleiche Seitenlängen und gleiche Innenwinkel.

Bsp: Ikosidodekaederstumpf

Weniger Symmetrieeigenschaften

Quadrate, Sechsecke und Zehnecke als Begrenzungsflächen. Aber immerhin sind diese kongruente und regelmäßige Vielecke (Polygone).

Bsp: Deltoidalhexakontaeder

Polygone mit weniger Symmetrieeigenschaften

Drachenvierecke (Deltoide) als Begrenzungsflächen: Die Kantenlängen und die Innenwinkel der Deltoide sind verschieden. Ein markanter Symmetrieverlust.

Reguläre Körper
sind Vielflächner (Polyeder) mit einer größtmöglicher Symmetrie, d. h. alle Flächen sind

• ebene,
• kongruente und
• regelmäßige Vielecke (Polygone).

Kongruenz von Flächen
Deckungsgleichheit:

• gleiche Form (Ähnlichkeit)
• gleiche Größe

Regelmäßiges Polygon

• Alle Seiten sind gleich lang.
• Alle Innenwinkel sind gleich groß.

Einbeschriebener Körper
Ein Körper ist einbeschrieben, wenn all seine Ecken auf den Seitenflächen eines anderen liegen.

Der Name dieser Vielflächner (Polyeder, poly = viel) verrät die Anzahl seiner Flächen (#F). So hat das Tetraeder z. B. vier Flächen (tetra = vier), während das Hexaeder als Würfel sechs Flächen aufweist (hexa = sechs).

Verbindet man die Flächenmitten, so erhält man den dualen Körper. Der duale Körper hat folglich genauso viele Ecken wie der Platonische Körper an Flächen hat. Der duale Körper ist wieder ein Platonischer Körper.

Das Tetraeder ist selbstdual.
Es hat genauso viele Flächen wie Ecken.

Bei aller Vielseitigkeit und Komplexität bzgl. der Polyeder gibt es eine konstante Größe:

Die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken stehen bei allen Polyedern in einem Zusammenhang:

#Flächen − #Kanten + #Ecken = 2

Es stellt sich dabei jedoch eine Frage:

Was passiert mit obigem Polyedersatz, wenn man in den Polyeder ein Loch stanzt? Die Lösung ist der verallgemeinerte Polyedersatz.

Je 2 Ecken des einbeschriebenen Hexaeders liegen auf einer Seitenfläche des Tetraeders.

Je 3 Ecken des einbeschriebenen Ikosaeders liegen auf einer Seitenfläche des Tetraeders.

Je 2 Ecken des einbeschriebenen Ikosaeders liegen auf einer Seitenfläche des Hexaeders.

Je 1 Ecke des einbeschriebenen Ikosaeders liegt auf einer Kante des Oktaeders.

Das

• abgeschrägte Hexaeder und das
• abgeschrägte Dodekaeder

haben einen Drehsinn. Sie können links- oder rechtshändisch sein. Beide Drehsinne sind zueinander gespiegelt. Daher wird manchmal auch angegeben, dass es 15 statt 13 Archimedische Körper gibt.

Polyeder mit einem Drehsinn nennt man chiral.

Die Archimedischen Körper besitzen verschiedene kongruente Seitenflächen. Daher liegt keine höchste Symmetrie mehr vor. Und beim Catalanischen Körper besitzen die Seitenflächen noch weniger Symmetrieeigenschaften.

Konstruktionsbedingt gilt Folgendes:
Ein Platonischer Körper hat genauso viele Flächen wie sein innerer dualer Körper an Ecken hat. Und ein Catalanischer Körper hat genauso viele Ecken wie der Archimedische Körper an Flächen hat. Beide sind ebenso zueinander dual.

Ein gewöhnliches Kletternetz im Park oder auf einem Schulhof besitzt im Zentrum häufig ein abgestumpftes Oktaeder. Das war eines der Entdeckungen.

Nun wissen wir, dass dieser "Nukleus" ein Archimedischer Körper ist. Der Oktaeder selber ist einer der fünf Platonischen Körper.

Der Schulhof als Bildungslandschaft!

Geometrie zum Anfassen.